Mathematik #1.5 - Notation von Summen und Produkten

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  • Dieser Lexikoneintrag beschäftigt sich grundsätzlich mit der theoretischen Verwendung von Summen- und Produktsymbolen.
    Motivation
    Um Summen bzw. Produkte darzustellen, kann man durch die Aufführung einiger Elemente dem Leser verschiedene Abhängigkeiten präsentieren. In folgendem Beispiel geht es um die Summenformel von Gauß:
    $$1+2+3+4+...+n=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$$
    Es ist zwar relativ offensichtlich, wie die Regel zu verstehen ist, aber gerade bei komplexeren Beispielen ist eine exakte Notation besser.

    Erklärung
    Allgemein unterscheidet man zwischen dem Summen- und Produktsymbol. Für die Summe verwendet man das ​\(\sum\)-Symbol. Dabei gilt allgemein
    $$\sum _{k=1}^{n} a_k=a_1+a_2+...+a_n.$$
    Das, was unter dem Summensymbol steht, symbolisiert den Startwert, das, was darüber steht, den Endwert. Bei jedem Schritt wird der Startwert um eins erhöht, bis der Startwert gleich dem Endwert ist. In dem oberen Beispiel ist dabei \(a_k\) ein beliebiger, aber fest zugeordneter Wert einer reellen Zahl.
    Allgemeiner kann man auch mit dem Symbol durch alle Elemente einer Menge iterieren. Zum Beispiel ist die Summe alle Elemente der Menge ​$$A=\{a_1, a_2, ..., a_k | a_i \in \mathbb{R}\}$$ mit ​\(\sum_{x\in A} x\) gegeben.

    Für ein Produkt verwendet man ein ​\(\pi\)-ähnliches Symbol (​\(\prod\)), die Verwendung ist fast identisch wie bei Summen, nämlich
    $$\prod_{k=1}^{n} a_k=a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_n.$$
    Beispiel
    Die Gaußsche Summenformel kann folglich so dargestellt werden:
    $$\sum_{k=1}^n k=1+2+3+4+...+n=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$$

    Übungen
    1. Man drücke ​\(1+3+5+7+...+2n−1\) mithilfe eines Summensymbols aus.
    2. Gegeben sei die Funktion \(f:x \rightarrow \prod_{k=0}^{n} 2^k\).
      1. Man berechne \(f(2)\) und \(f(4)\).
      2. Man beweise, dass \(f(x)\) für jedes \(x \in \mathbb{N}_0\) eine Zweierpotenz ist. Geben Sie zudem den Funktionswert von \(f(x)\) (\(x \in \mathbb{N}_0\)) ohne Verwendung von Summen- oder Produktsymbolen an.

    3. Gegeben sei eine Folge \(A=(2, 7, 17, 34, 60, 97, ...)\). Man gebe eine Summenformel zur Berechnung des ​\(n\)-ten Elementes an.
    4. Gegeben sei ein beliebiger Graph ​\(G=\{V,E\}\) (​\(V\)=Knotenmenge, ​\(E\)=Kantenmenge), für den für jedes \(i,j \in V\) die Variable $$x_{\{i,j\}}=\left\{{0{\text{ (Es existiert keine Kante zwischen }i\text{ und }j\text{.)}}\atop1{\text{ (Es existiert eine Kante zwischen }i\text{ und }j\text{.)}}}\right.$$ definiert sei. Man drücke mithilfe von Summensymbolen die Anzahl der Kanten des Graphen aus. (Tipp: Man kann auch mehrere Summensymbole hintereinander verwenden; Zu Graphen kann man sich auf Wikipedia informieren, wenn ich Zeit habe, werde ich allerdings vielleicht selber mal Lexikoneinträge schreiben, da das Thema schon eine große Relevanz in der Informatik hat.)


    Lösungen
    Spoiler anzeigen

    1. \(1+3+5+7+...+(2n-1)=\sum_{k=1}^n (2k-1) = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)\)

      1. \(f(2) = \prod_{k=0}^{2} 2^k = 2^0\cdot 2^1\cdot 2^2 = 8\) und ​\(f(4) = \prod_{k=0}^{4} 2^k = 2^0\cdot 2^1\cdot 2^2\cdot 2^3\cdot 2^4 = 1024\).
      2. Allgemein gilt: $$f(x) = \prod_{k=0}^{n} 2^k = 2^0\cdot 2^1\cdot 2^2\cdot ...\cdot 2^n=2^{(0 + 1 + 2 + ... + n)}$$ Somit handelt es sich tatsächlich um eine Zweierpotenz.
        Da \(0 + 1 + 2 + ... + n = 1 + 2 + ...+ n = \frac{n\cdot (n+1)}{2}\) nach der Gaußschen Summenformel ist, kann man das Ergebnis mit $$\prod_{k=0}^{n} 2^k = ... =2^{(0 + 1 + 2 + ... + n)} = 2^{\left(\frac{n\cdot (n+1)}{2}\right)}=\sqrt{2^{n\cdot (n+1)}}$$ wiedergeben.

    2. Man erzeugt zuerst eine Folge ​\(B=(2, 5, 10, 17, 26, 37, ...) = (n^2+1 | n\in \mathbb{N})\). Dabei fällt einem auf, dass sich jedes Element aus \(A\) bilden lässt, wenn man alle Elemente aus ​\(B\) bis zum Index ​\(n\) addiert, was man hier auch sehen kann:$$\begin{align}
      2&=2=(1^2+1)\\
      7&=2+5=(1^2+1)+(2^2+1)\\
      17&=2+5+10=(1^2+1)+(2^2+1)+(3^2+1)\\
      34&=2+5+10+17=(1^2+1)+(2^2+1)+(3^2+1)+(4^2+1)\\
      ...
      \end{align}$$Damit gilt also allgemein für jedes Element ​\(a_n = \sum_{k=1}^n (k^2+1)\), wobei ​\(a_n\) das ​\(n\)-te Elemente von ​\(A\) darstellt.
    3. Man überprüft für jeden Knoten den Grad mithilfe von ​\(\text{Grad}(i) = \sum_{j \in G \backslash i} x_{\{i,j\}}\). Da die Summe der Kanten in einem Graph bekanntlich gleich ​Summe der Grade der \(\frac{\text{Summe der Grade der Knoten}}{2}\) ist, ist die Anzahl der Kanten damit ​\(\frac{\sum_{i \in G} \sum_{j \in G \backslash i} x_{\{i,j\}}}{2}\).

    218 mal gelesen

Kommentare 6

  • Janhektor -

    Gute Übungsaufgaben!
    Einerseits übt man die Notation, andererseits sind die nicht so trivial wie zehn Aufgaben zu irgendwelchen arithmetischen Reihen oder so.
    Der Bezug zur Graphentheorie ist cool, würde ich aber in irgendeiner Form als schwierig deklarieren. Wer sich über Summen- und Produktnotation informiert, kennt nicht unbedingt das Handshaking-Lemma. Daher die Anmerkung.

    Und ein Fehler in der Lösung: Aufgabe 2 handelt vom Produktzeichen und du schreibst es als Summe aus.

    • gabriel2029 -

      Upss, danke für den Hinweis. (verbessere ich später)

      Ich habe mehrfach überlegt die Aufgabe 4 mit rein zu nehmen, da für viele die Aufgabe wohl nicht lösbar ist. Wer diese nicht kennt, kann diese ja auch überspringen, deshalb habe ich die mal drinnen gelassen. Eigentlich müstte man ja noch erwähnen, dass der Graph einfach und ungerichtet ist.

    • gabriel2029 -

      Ich habe mal noch einmal die Übungsaufgaben überarbeitet, vielleicht passt das nun besser.

  • LevDev -

    Auch wenn ich das meiste nicht lesen kann. Wie kommst du auf Kantenmengen und Knotenmengen? Ich denke viele wissen noch niemals was es ist und somit ist die Aufgabe meiner Meinung nach Quatsch, denn Wikipedia erklärt dir das ein bisschen fortgeschrittener.

    Und meckern auf hohem Niveau: Du kannst auch bei der Gaußschen Summenformel (n² + n)/2 schreiben. Sieht glaube ich bisschen schöner aus.

    • gabriel2029 -

      Ich habe das ganze nur dazu getan, weil es ganz gut passt zur Demonstration des Summensymbols und auch darauf verwiesen. Das die Aufgabe für den Neuling nicht lösbar ist, ist mir schon klar.

  • ScorpiaWeb -

    Da ist wieder der Format Fehler ^^