Mathematik #1.1 - Operationen und allgemeine Begriffe in der Mengenlehre

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  • Mathematik #1.1 - Grundlagen und allgemeine Begriffe in der Mengenlehre
    Vorwort:

    In dieser Reihe möchten Janhektor und ich euch wichtige Gebiete der höheren Mathematik vorstellen und erklären.



    Was ist eine Menge?

    Ich denke mal es sollte allen klar sein. Ihr kennt es durch Arrays usw.
    Trotzdem hier noch ein kleines anschauliches Bild:



    [1.1] Quelle: Siehe unten in der Quellenbox ;)



    Hier kann man gut sehen, welche Elemente zu der Menge gehören, und welche nicht.
    Leider sind es in der Mathematik keine Gegenstände, sondern meist Zahlen.


    Eine Menge wird meist so geschrieben:


    M = {1,2,3}


    Dabei sagt man, dass die Menge M die Elemente 1,2 und 3 enthält.
    Die Bezeichnung der Variablen ist meist in Großbuchstaben. (Ausnahmen: griech. Alphabet)

    Wiederum:


    1,2,3 ∈ M


    Das bedeutet, dass 1,2 und 3 ein Element von M sind.
    Wenn man sagen möchte, dass etwas kein Element von einer Menge ist, schreibt man es so:


    4 ∉ M


    Operationen mit zwei Mengen:

    Auch ist es möglich zwei Mengen zu vergleichen. Aber vorher müssen wir erstmal die Operationen kennenlernen.

    Zuerst definieren wir uns 2 Mengen:


    A = {1,2,4,6}
    B = {2,5,9}


    So, nun können wir beide Mengen vereinigen.


    A∪ B= {1,2,4,5,6,9}


    Man spricht: „A vereinigt B“
    Dabei ist wichtig, dass die 2 nur einmal ein Element ist, denn es können keine Elemente doppelt enthalten sein.


    Grafisch dargestellt (Venn-Diagramm):


    [1.2] Quelle: Siehe unten in der Quellenbox ;)



    Wir können auch die Beiden Mengen „schneiden“.
    Dabei erhalten wir die Schnitt- oder Durchschnittsmenge:


    A ∩ B= {2}


    Man spricht: „A geschnitten B“



    Grafisch dargestellt (Venn-Diagramm):

    [1.3] Quelle: Siehe unten in der Quellenbox ;)


    Weil es dementsprechend auch passieren kann, dass es kein Element gibt, welches in beiden Mengen enthalten ist, kann es auch eine leere Menge sein.

    C ist in unserem Fall jetzt die Schnittmenge:





    Die 0 mit dem Strich durch bedeutet also, dass die Menge leer ist.



    Außerdem kann man eine Differenz von zwei Mengen bilden:


    A\B = {1,4,6}


    Dabei sagt man, dass die Differenzmenge die Elemente enthält die A enthält aber B nicht.
    Man spricht: „A ohne B“.



    Grafisch dargestellt (Venn-Diagramm):

    [1.4] Quelle: Siehe unten in der Quellenbox ;)



    Schlusswort:

    Das waren die grundlegenden Operationen in der Mengenlehre.

    Außerdem haben wir erstmal auf paar Operationen verzichtet (die symmetrische Differenz, Potenzmengen, kartesisches Produkt usw.) und die allgemeinen Formeln der Vereinigungs-, Schnitt und Differenzmengen weg gelassen, da es sonst den Rahmen sprengen würde. Wir freuen uns auch sehr über Verbesserungsvorschläge und Feedback.



    Quellenbox:





    Nächster Eintrag:
    Mathematik #1.2 - Vergleichspperationen, Teilmengen und Potenzmengen in der Mengenlehre

    173 mal gelesen

Kommentare 4

  • Schmidtchen -

    Ist es geplant, dass in der Quellenbox viel mal der gleiche Link drin steht?

    • LevDev -

      Ja, ist es. :) Das Venn-Diagramm bzw. die Venn-Diagramme sind alle auf der Seite der Mengenlehre von Wikipedia. Hätte natürlich auch 1.1-1.4 schreiben können, habe ich aber mal nicht gemacht, weil das eh ein Spoiler ist und man es dementsprechend auf- und ausklappen kann.

  • ScorpiaWeb -

    Da ist sehr viel RAW-Html drin, ist das beabsichtigt? Sonst sehr guter Beitrag.

    • LevDev -

      Es war ein Fehler, weil Latex nicht ging. Habe es jetzt per Hand alles geändert. Entschuldigung dafür :)