Philosophie #2 - Aussagenlogik

  • Verknüpfungen von Aussagen? Junkturen? Was ist diese Aussage? Ist das so richtig?

    Hey Leute,


    es soll heute um Aussagenlogik gehen. Viele von euch werden sie eventuell im Leben noch brauchen. Ich möchte euch den Umgang damit frühzeitig näher bringen. Vorher wäre es zu Empfehle sich kurz die Artikel Philosophie #1 - Wat isn dette hier? und



    Was ist denn das nun eigentlich?

    Man kann die Aussagenlogik oder auch die Logik allgmein als eine Sprache der Mathematik betrachten. Sie ist dazu da, Zusammenhänge zu erklären und vor allem vernünftig zu schlussfolgern. Wie für die Mathematik typisch erfordert es genaue und scharfe Definitionen. Man will kurze und prägnante Aussagen. Logik ist jedoch nicht immer wie sie scheint. Schnelle Fehlschlüsse können einem schnell einen Strich durch die Rechnung machen. Wenn man rein intuitiv entscheidet, ohne dass man seine Aussagen genauer untersucht kann man sich schnell einmal irren. Dabei ist es besonders wichtig, keine kleinen Fehler zu machen, wenn man in die Logik der Mathematik oder auch Informatik oder Philosophie eintauchen möchte. Die Aussagenlogik beschäftigt sich mit alle dem.



    Die Klassische Logik

    Als allgemein anerkanntes Prinzip der Logik gilt die klassische Logik mit den Grundsätzen

    1. Bivalenzprinzip: Eine Aussage kann nur entweder falsch oder wahr sein.
    2. Extensionalitätsprinzip: Der Wahrheitsgehalt eine zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch den Wahrheitsgehalt ihrer Teilaussagen belegbar.


    Während die klassische Logik vor allem der Aussagenlogik und Prädikatenlogik widmet, werden wir uns vor allem auf die Aussagenlogik konzentrieren. Bei einem Abweichen von o.g. Grundsätzen spricht man von nichtklassischer Logik, logisch oder?



    Grundbegriffe


    Aussage

    Eine Aussage ist per Definition entweder ein wahrer oder falscher Satz. Eine Aussage kann einzeln, oder verknüpft vorliegen. Eine einzelne Aussage nennt man dabei auch Elementaraussage.


    Junktor

    Ein Junktor ist eine logische Verknüpfung, auch Operator genannt. Man benutzt sie, um Elementaraussagen zu Kombinationen zusammenzusetzen.



    Junktoren und ihre Modellierung in Wahrheitstabellen

    Im Wesentlichen gibt es folgende Junktoren [leicht gekürzt und hier zu didaktischen Zwecken vereinfacht]:

    1. Negation - Verneinung einer Aussage
    2. Konjunktion - Eine "Und"-Verknüpfung
    3. Disjunktion - Eine "Oder"-Verknüpfung
    4. Implikation - Eine "Wenn-dann"-Verknüpfung
    5. Äquivalenz - Eine "Genau-Dann-Wenn"-Verknüpfung
    6. Kontravalenz - Eine "Entweder-Oder"-Verknüpfung.


    Wir gehen von einer Aussage A und einer Aussage B aus. Man kann deren Wahrheitswerte nun durch o.g. Methoden verknüpfen und kann dies dann wie folgt modellieren. Wenn sich jemand schonmal mit binären Operatoren beschäftigt haben sollte, so werden ihm hier Parallelen auffallen.


    Negation - Man verneint eine Aussage:

    dev-tek.de/attachment/809/


    Konjunktion - Eine Und Verknüpfung:

    dev-tek.de/attachment/810/


    Disjunktion - Eine Oder Verknüpfung:

    dev-tek.de/attachment/811/


    Implikation - Eine Wenn dann Verknüpfung:

    dev-tek.de/attachment/812/


    Äquivalenz - Eine Genau dann wenn Verknüpfung




    Erklärung der Junktoren

    Die Negationist gewiss am einfachsten zu erklären. Es handelt sich um eine Umkehrung. Eine wahre Aussage wird falsch und eine falsche Aussage wird wahr. Die Konjunktion ist ein simples "Und". Wenn sowohl A als auch B wahr sind, so ist die Verknüpfung ebenfalls wahr, ansonsten bleibt nur die Möglichkeit, dass die verknüpfte Aussage falsch ist. Dagegen wird bei einer Disjunktion das "Oder" ausgedrückt. Ist mindestens A oder mindestens B wahr? Man spricht hier auch von einem "nichtausschließenden Oder". Bei der Implikation spricht man von einer hinreichenden Bedingung. Ganz kurz kann man sagen: Wenn A, dann B. Die Äquivalenz sagt aus, dass A und B entweder beide falsch oder beide richtig sind. Durch die Negation der Äquivalenz ließe sich übrigens ein ausschließendes Oder bilden (Kontravalenz).


    Beispiele

    Nach all diesen abstrakten Äußerungen nun ein paar konkrete Beispiel, für die schwierigeren Fälle. Der wohl schwierigste ist die Implikation:


    A = Es regnet

    B = Es ist nass


    1. Fall: Es regnet und es ist nass -> wahr

    2. Fall: Es regnet und es ist nicht nass -> falsch

    3. Fall: Es regnet nicht und es ist nass -> richtig

    4. Fall: Es regnet nicht und es ist nicht nass -> richtig




    Ich hoffe dass ich euch nicht zu sehr verwirrt habe. Aussagenlogik ist kein Thema, um es mal eben zu lernen, aber wenn man es erst einmal verstanden hat, ist man vielleicht ein Stück weiter an einem mathematischen Verständnis. Vielleicht konnte ich euch das Thema näher bringen. Teilweise hilft es leider nichts und man muss die Wahrheitstafeln stur auswendig lernen und später lernen sie zu verstehen. Hilfreich ist es natürlich, wenn man sich zum Beispiel mit Schaltungen in der Elektrotechnik und ein wenig mit Mengenlehre beschäftigt.


    Mit freundlichen Grüßen

    Nathalie

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Kommentare 12

  • Einige Bilder fehlen leider / wurden entfernt.

  • alda schwedenwixxer was ist das n xd voll kompletzierd

  • Wie sind hier in einem Entwickler Forum, wo diese Sachen meiner Meinung nach nicht hingehören. Du solltest vlt dafür ein Forum suchen wo es um so was geht.

    • Das hier ist keineswegs fernab von jeglicher Informatik. Jeder Schaltkreis wird nach o.g. Verschaltungen gebaut, viele Probleme in der Informatik werden über Aussagenlogik theoretisch erfasst. Eng verknüpft mit der Mengenlehre hat das ganze auch einen mathematischen Aspekt und wenn du dich irgendwann mal Komplexität und Erfüllbarkeitsproblemen beschäftigst, wird dir das hier sehr bekannt vorkommen. Formale Sprachen und alles was mit Logik zutun hat nimmt irgendwann Bezug auf Aussgenlogik.

  • Echt schwer zu lesen (und zu verstehen), musste bestimmte Abschnitte ein paar Mal lesen. Aber dennoch interessant :D

  • Kommen auch noch Beweistheorie und aussagenlogische Kalküle?

    • Da würde ich mich sehr weit vorwagen, ich hab bisher nur einmal eine Vorlesung darueber besucht, aber ich kanns versuchen ;) Ist allerdings teilweise etwas Neuland, ich hoffe ich enttäusche hier niemanden.

  • Danke für den Beitrag! Vllt. kannst du noch die mathematischen Zeichen hinzufügen :D


    Und es bringt doch absolut nichtsWahrheitstabellen auswendig zu lernen. Ich sage dir jetzt lerne die Wahrheitstabelle für A, B, C:


    A <=> B, A <=> !C, B <=> !C, A u. B <=> A u. C, !C o. B <=> (A u. C) o. (B u. C)


    Ist zwar jetzt ein komisches Beispiel, aber ist ja letztlich auch als Wahrheitstabelle darstellbar. Man sollte einfach verstehen, was gemeint ist und wie es "funktioniert".

    • Puh, dann bin ich raus :( :D

    • Lol, irgendwie kann ich, wenn ich meinen Beitrag editiere nicht normal editieren. Es sollten natürlich auch die Spalte C vorgegeben sein.

    • Natürlich ist es nicht optimal, sie einfach auswendig zu lernen, aber ich kenne manche Leute, bei denen es zumindest teilweise funktioniert Das verstehen ist natürlich weit besser und weniger krampfhaft und ohne verstehen kommt man auch selten darüber hinaus, einfache Aufgaben zu lösen. Die Empfehlung des Lernens ist, da hast du recht, schwierig, aber manchmal vorerst der einzige Weg. Vielleicht klappt es besser, wenn man sich mehr konkrete Beispiele sucht. Aussagenlogik ist nun mal etwas abstrakt und für das ungeübte Auge absolut nicht trivial. Du kannst mir gerne privat eine Nachricht schicken, wo du was ändern möchtest.